近日，我校数学与统计学院青年教师查冬兵教授在非线性波动方程的理论分析方面取得系列新进展，三项成果发表于该领域知名期刊Calculus of Variations and Partial Differential Equations以及Journal of Differential Equations，文章题目分别为“非线性弹性波的散射与刚性（Scatteringand rigidity for nonlinear elastic waves）”“非线性弹性波的整体存在性：非超弹性情形（Global existence of nonlinear elastic waves: non-hyperelastic case）”和“外区域上拟线性波动方程的渐近行为 (Asymptotics for quasilinear wave equations in exterior domains)”。

非线性弹性波方程是弹性动力学中的基本方程，也是一类典型的非线性波动方程，在材料科学等领域具有重要应用。对于不同的材料，该方程的形式不尽相同。对于材料均匀、各向同性、超弹性这一基本的情形，美国数学家Thomas Sideris以及日本数学家Rentaro Agemi独立解决了该方程Cauchy问题小初值经典解的整体存在性问题。他们的结果均发表于数学四大知名杂志（见 [T.Sideris, Nonresonance and global existence of prestressed nonlinear elastic waves. Ann. of Math. (2) 151 (2000), No. 2, 849–874] 以及 [R.Agemi, Global existence of nonlinear elastic waves. Invent. Math. 142 (2000), No. 2, 225–250]）。但对于整体解的渐近行为的刻画问题，由于系统的高度耦合性，一直以来未有进展。Sideris和 Agemi的方法亦不能用来直接处理渐近行为问题。针对这一问题，查冬兵教授通过利用Helmholtz分解来取代原先的局部分解，将系统“解耦”成分析上可以处理的两部分。对于非线性项衰减较好的部分，可以利用加权能量方法进行处理；而对于衰减性较差的部分，则需要进一步详细分析逐点估计。结合这两部分的分析，最终可证明整体解会散射且具有刚性性质。

对于非超弹性的情形，通过详细分析非线性项的相互作用，亦给出了小初值经典解的整体存在性。这些结果是非线性弹性波方程的一次新的进展，且为后续研究弹性动力学中的数学分析问题提供了关键数学工具。另外，对于满足零条件的拟线性波动方程的外区域问题，通过精细的能量估计与椭圆正则性估计，给出了整体解的散射以及反散射的渐近性质。这些研究工作得到了国家自然科学基金面上项目等项目经费的支持。

以弹性动力学方程为代表的非线性波动方程的分析理论研究是现代纯粹与应用数学的核心与热门研究方向。查冬兵教授长期从事该领域的研究。近五年发表相关论文二十余篇，其中十一篇发表于Journal de Mathematiques Pures et Appliquees 、Journal of Functional Analysis 、Calculus of Variations and Partial Differential Equations 、Journal of Differential Equations等，持续推动相关领域的发展。

论文链接 ：

https://link.springer.com/article/10.1007/s00526-024-02736-2

https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0022039624003875?via%3Dihub

https://www.sciencedirect.com/science/article/abs/pii/S0022039625003808